LAS LEYES DE LA
FORMA

“Un nuevo cálculo, de gran belleza y profundidad” (Bertrand Russell)


La Teoría

Concepto de forma

Una forma es el aspecto superficial de algo. A nivel de lenguaje, una forma es pura sintaxis, en donde la semántica está abierta, es decir, que se puede interpretarse de múltiples maneras. Por ejemplo, un sistema axiomático formal admite diferentes interpretaciones (los llamados “modelos”). Diferentes modelos pueden compartir los mismos axiomas, con la misma forma, lo que revela analogías estructurales (formales) entre sistemas aparentemente diferentes.


Las leyes de la forma

Publicadas por George Spencer-Brown (GSB) en 1969, las leyes de la forma constituyen un intento de paradigma unificador basado en las formas esenciales que subyacen en diferentes dominios (matemática, lógica, física, biología, lingüística, etc.). Se basan en el concepto de “distinción” (simbolizado por el símbolo angular “⌉”, también llamada “marca”), que representa la creación de un espacio (a partir del vacío) y su división o separación en dos subespacios: uno interno (contenido) y otro externo (contexto). La marca establece la frontera entre los dos espacios creados. La marca de las leyes de la forma simboliza o representa la conciencia, que conecta los opuestos: espacio interior y espacio exterior. Por ejemplo, el trazado de una circunferencia en un espacio plano crea una distinción, al dividir el espacio en dos subespacios. La ausencia de distinción es el vacío.

El espacio es una experiencia asociada a la conciencia. La marca está asociada a lo consciente, a lo diferenciado. El vacío está asociado a lo inconsciente, a lo indiferenciado. La consciencia emerge del proceso de realizar o percibir distinciones: algo emerge del inconsciente (el vacío) para convertirse en consciente. La marca es la frontera común entre el mundos interno y el mundo externo.

Mostrar una preferencia por uno de los dos subespacios es una “indicación”. Una indicación es un tipo de distinción: una distinción de valor. Para hacer una indicación es necesario realizar primero una distinción. El conocimiento se construye mediante distinciones e indicaciones en la realidad.

Un símbolo alternativo para la marca, más cómodo de utilizar, es un par de paréntesis () para delimitar (de forma lineal) los espacios interno y externo. También podríamos utilizar un círculo como notación bidimensional. En un círculo hay 3 zonas: la interior, la exterior y la circunferencia, que une lo interior y lo exterior.

GSB solo utiliza dos formas de composición de la marca:
  1. La secuencia: ⌉⌉ ()()
  2. La jerarquía: ⌉⌉ (())
Con la marca y las dos formas de composición se pueden crear expresiones (formas) tan complejas como se quiera, por ejemplo: Una vez definido el símbolo de marca y su ausencia (el vacío), se definen dos leyes muy simples:
  1. Ley de llamada (calling): ()() = ()
  2. Ley de cruce (crossing): (()) = (el vacío)
Como se ve, no existen operadores. La marca actúa como operador y como operando y representa el fundamento de la conciencia y la base del lenguaje utilizado para construir o percibir la realidad.

Mediante estas dos leyes se pueden realizar cálculos (cálculo de distinciones). El resultado de un cálculo es la marca o el vacío. Por ejemplo, la expresión del ejemplo anterior, calculada, produce ().

Las dos leyes de la forma se pueden interpretar en los dos sentidos:
  1. Hacia la derecha: Condensación. Hacia la izquierda: Confirmación.

  2. Hacia la derecha: Cancelación. Hacia la izquierda: Compensación.

Álgebra de las leyes de la forma

Utilizando variables (que representan la marca o el vacío) se pueden construir expresiones algebraicas como A partir de las dos leyes de la forma (los axiomas) se pueden deducir numerosos teoremas. Por ejemplo: Las dos primeras expresiones son las dos leyes de la forma expresadas de forma algebraica (se utilizan variables). Las leyes de la forma originales están expresadas de forma aritmética (es decir, solo se utilizan constantes).

Las ventajas de la notación con variables son:
Interpretaciones de las leyes de la forma

Las leyes de la forma admiten muchas interpretaciones. Por ejemplo, se pueden interpretar como:
  1. Lógica booleana. Este tipo de lógica se denomina “Lógica Delimitadora” (Boundary Logic).

    Notación
    clásica    		Notación
    nueva
    F (falso)el vacío
    V (verdadero)()
    a' (no a)(a)
    a∨b (a o b)ab
    a∧b (a y b)((a)(b))
    a→b (a implica b)(a)b
    a↔b (a equivalente a b)(((a)b)((b)a))
    If a Then b Else c(((a)b)(ac))

  2. Álgebra de conjuntos:

    Notación
    clásica    		Notación
    nueva
    ∅ (conjunto vacío)el vacío
    U (conjunto universal)()
    a' (complementario de a)(a)
    a∪b (unión)ab
    a∩b (intersección)((a)(b))
    a−b (diferencia)(a)b

  3. Álgebra de circuitos (interruptores de corriente):

    Notación
    clásica    		Notación
    nueva
    0 (no hay corriente)(el vacío)
    1 (hay corriente)()
    a' (invertir interruptor)(a)
    a∪b (unión)ab
    a∩b (intersección)((a)(b))

Aplicaciones de las Leyes de la Forma

Las leyes de la forma han inspirado a numerosos autores, que las han aplicado (a veces con variantes) a diferentes dominios: filosofía, cibernética, arte, computación, lógica, conjuntos, aritmética, topología, circuitos, semiótica, redes neuronales, etc.


Lógica virtual o imaginaria

Louis H. Kauffman ha desarrollado aplicaciones de lógica virtual.

Charles H. Moore, inventor del lenguaje Forth, ha aplicado la lógica imaginaria para simplificar el diseño de circuitos.

Jeff Fox ha estudiado el paralelismo entre las leyes de la forma y el lenguaje Forth.


Matemática Delimitadora

William Bricken es el creador de la Matemática Delimitadora (Boundary Mathematics), un formalismo basado en la utilización de delimitadores (paréntesis), en lugar de operadores, que tiene la ventaja de su mayor expresividad, además de simplificar la computación. También ha desarrollado un lenguaje llamado LOSP, que utiliza este tipo de matemática, y que lo ha implementado en un chip como motor de aplicaciones de realidad virtual.


Física trascendental

Edward R. Close ha desarrollado la “Física Transcendental”, una disciplina que integra (mediante el cálculo de distinciones) la realidad física (en sus aspectos de espacio, tiempo, materia y energía) y la conciencia del observador. Se basa en los siguientes principios:
Cálculo de distinciones en los sistemas biológicos

Francisco Varela ha aplicado el cálculo de distinciones a los sistemas biológicos. En su libro “Principios de Autonomía Biológica” extiende el sistema de GSB a un sistema lógico de tres valores, añadiendo a la distinción y al vacío un tercer valor: la autorreferencia, simbolizada por el mítico Ouroboros, que representa la autorregeneración, la renovación y la identidad sin fin. Este tercer símbolo es también una distinción y constituye una síntesis de los opuestos (la distinción y el vacío), una unidad de orden superior. Estas tres entidades primarias, según Varela, constituyen la realidad.

Para Varela, la autorreferencia, actuando en diferentes niveles, en un sistema biológico es lo que le permite operar autónomamente y ser capaz de autorregeneración, en donde el sistema está estructuralmente abierto pero funcionalmente cerrado [ver Adenda – Autopoiesis].


Sistema de cálculo numérico

Jeffrey M. James ha ideado un sistema de cálculo numérico basado en la Matemática Delimitadora. Utiliza tres tipos de delimitadores: La concatenación se interpreta como suma (no hay delimitador específico para esta operación).

Notación
clásica		Notación
nueva
aa
−a<a>
e^a(a)
a+bab
a−ba<b>
a*b([a][b])
a*b*c([a][b][c])
1/a(<[a]>)
a/b([a]<[b]>)
a^b(([[a]][b]))
logab(([[a]]<[b]>))
3√a(([[<a>]]<[b]>))

Las expresiones de producto y exponenciación se justifican por las expresiones siguientes: El sistema utiliza los tres axiomas siguientes:
  1. Involución: ([a]) = a = [(a)]
  2. Distribución: (a[bc]) = (a[b])(a[c])
  3. Inverso: a<a> =
Los números naturales se representan así:

Notación
clásica		Notación
nueva
0(el vacío)
1o
2oo
3ooo
43([b][oooo])ooo
243([([b][oo])oooo][b])ooo

siendo b = oooooooooo (la base decimal).

Otras expresiones son:

Notación
clásica		Notación
nueva
−1<o>
−2<oo>
2/3([oo]<[oo]>)
e(o)
e^a(a)
ln(a)[a]
ln(1)[o]
ln(−1)j = [<o>]
i(([[<o>]]<[oo]>)) = (([j]<[oo]>))
a+bi (número complejo)a([b][i])
π([<o>][j][i]) = (j[j][i])

Esta última expresión se justifica por la fórmula de Euler:

Especificación en MENTAL

Leyes de la Forma

Puesto que los paréntesis curvos ya tienen un significado en MENTAL, podemos utilizar para la distinción (marca) el mismo paréntesis, pero con algún atributo diferenciador (negrita, cursiva, color, etc.) o bien utilizar otro tipo de paréntesis. En este último caso, podríamos utilizar, por ejemplo, los paréntesis ⌈ y ⌉. En este caso, las leyes de la forma, en su versión aritmética, serían:
  1. Ley de llamada (calling):
    ( ⌈⌉ ⌈⌉ = ⌈⌉ )
  2. Ley de cruce (crossing):
    ( ⌈⌈⌉⌉ = θ )
Las leyes de la forma, en su forma algebraica, serían:
  1. ⟨( ⌈x⌉ ⌈x⌉ = ⌈x⌉ )⟩
  2. ⟨( ⌈⌈x⌉⌉ = x )⟩
siendo x una expresión nula (θ) o la marca ⌈⌉. En el caso de x = θ, se tiene la versión aritmética de las leyes de la forma.


Matemática delimitadora

En este aspecto, hay que resaltar que MENTAL utiliza 6 delimitadores para expresar formas:

FormaDelimitadores
Expresión
genérica		⟨...⟩
Secuencia(...)
Conjunto{...}
Distribución
normal		[...[...]...]
Distribución
lineal		[...⌊...⌋...]

Si se desea utilizar más delimitadores, en lugar de los operadores, se pueden utilizar estos delimitadores, pero con un atributo diferenciador (negrita, cursiva, subrayado, color, etc.).


Expresiones autorreferenciadas

Usamos aquí la sustitución potencial. Los ejemplos anteriores se expresarían así:
  1. ( f =: ⌈a ⌈b f⌉⌉ ) // representa la expresión infinita
    ⌈a ⌈b ⌈a ⌈b ⌈a ⌈b ⌈…⌉⌉⌉⌉⌉⌉⌉

  2. ( x =: ⌈x⌉ ) // representa el oscilador x ⌈x⌉ x ⌈x⌉ x ...

Adenda

Autopoiesis

Es un neologismo creado en 1971 por Humberto Maturana y Francisco Varela para explicar la organización de los sistemas biológicos. Proviene del griego “poiesis”, producción. Hace referencia a la característica distintiva de los seres vivos de autoproducirse, de autorregenerarse mediante una organización circular, autorreferencial o reentrante. Un sistema autopoiético se produce a sí mismo de forma continua usando recursos del entorno, de tal manera que el productor y el producto, el hacer y el ser, el sujeto y el objeto, son la misma cosa.

Los seres vivos son seres autónomos autorreferentes. No todo ente autónomo es un ente vivo. La autorreferencia es un tipo de autonomía y es la que caracteriza a los seres vivos.

Los sistemas vivientes son simultáneamente sistemas autónomos y dependientes del entorno. Es una paradoja, no concebible con el pensamiento tradicional de tipo dicotómico (verdadero/falso, sí/no, etc.), sino con un modelo de pensamiento en el que se armoniza el pensamiento analítico con el sintético, lo lineal con lo circular. En definitiva, con la unión de los opuestos.

La teoría de la autopoiesis se apoya en la teoría cibernética (Wiener, Ashby, von Foerster, etc.) pero con dos importantes aportaciones conceptuales:
  1. Acoplamiento estructural.
    Se refiere a la capacidad de un ser viviente de cambiar constantemente su estructura de forma flexible y congruente con las modificaciones del entorno. Este acoplamiento estructural circular, de dialogo constante ser-entorno, ocurre a múltiples niveles.

  2. Clausura operacional.
    Para que la vida sea posible es necesario que el ser vivo se cierre, se clausure ante el entorno, de tal manera que, ante la dinámica del entorno, se mantenga invariante la organización del ser viviente (su funcionalidad, su identidad, su globalidad). La clausura operacional se debe precisamente a la cualidad autorreferencial.
Es decir, los seres vivos son estructuralmente abiertos y funcionalmente cerrados.

El concepto de autopoiesis ha desbordado los límites de la biología para aplicarse en otros dominios como sociología, antropología, psicoterapia, etc., habiéndose convertido en un importante concepto para la investigación de la realidad.


Bibliografía

Leyes de la Forma
Autopoiesis